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\slidepart{Rétroingéniérie}


\begin{trans}{Compréhension de code}
  \belleboite{Motivation économique}
  \begin{itemizer}
  \item \hypertarget{Compréhension}{Beaucoup} de codes existent dans
    l'industrie
  \item Capital souvent important (100k-1M lignes)
  \item Coûts importants en maintenance et évolution
  \item Estimation des coûts de maintenance contre coûts de développement
  \item Vérification de programme, certification, test
  \item Vérification de codes importés : \emph{parallélisme, débordement
      de tableau}
  \item Détections d'erreurs (allocation,...)
  \item Utile pendant tout le cycle de vie : codage, mise au point,
    optimisation, certification, maintenance, réingéniérie
  \item Bug de l'an 2000
  \item EDF, CEA-DAM
  \end{itemizer}
  \belleboite{Outils de rétro-ingéniérie nécessaires}
\end{trans}


\begin{trans}{Graphe d'appel}
  \begin{multicols}{2}
    \psfig{file=dessins/cr2cnf-CG.eps,width=0.6\hsize}
    \begin{itemizer}
    \item Indispensable pour appréhender un gros code
    \item Outil de navigation
    \end{itemizer}
  \end{multicols}
\end{trans}


\begin{trans}{Signature --- D}
  Détection de passage de paramètres cachés
\begin{verbatim}
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-IN-EXACT-{PHI1==J, PHI1==JP, KP<=PHI2+1,
C    PHI2<=KP, L<=PHI3, PHI3<=2+L, K==KP-1, 2<=J, 3<=KP}>
      REAL*4 FUNCTION D(J,K,JP,KP)
C*****************************************
C     CALCULE D=DISTANCE
C*****************************************
C     
      INTEGER J,K,JP,KP,L
      REAL*4 D,T(1:52,1:21,1:60)
      COMMON /CNI/ L
      COMMON /CT/ T
...
\end{verbatim}
\end{trans}


\begin{trans}{Signature --- CR2CNF}
  \psfiglarge{dessins/invfro-signature.eps}
\end{trans}


\begin{trans}{Signature de INVFRO}
  \begin{itemizer}
  \item Aucune valeur de "Z1", "Z2" ou "Z3" nécessaire (pas de région
    IN)
  \item Aucune valeur de "Z1", "Z2" ou "Z3" utilisé ultérieurement
    (pas de région OUT)
  \item Utilisation localisée du "COMMON /TOTO/" par rapport à
    l'application complète CR2CNF
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Privatisation}
  \begin{itemizer}
  \item Cerner la durée de vie de variables scalaires ou tableaux \vavers
    structuration \& modularité
  \item Transformation de programme sur scalaires, tableaux, "COMMON"s
    {\small
\begin{alltt}
      SUBROUTINE INVFRO(A,AF,Y,N,NC,X,Z,NP)
      REAL*8 \emph{Z2_P(1:640)},\emph{Z1_P(1:640)},A(1:N,1:N,1:3),AF(1:N,1:N,1:NC),
     &Y(1:N,1:NC),X(1:N,1:NC),Z(1:N),\emph{Z1(1:640)},\emph{Z2(1:640)},\emph{Z3(1:640)}
      COMMON /TOTO/ \emph{Z1},\emph{Z2},\emph{Z3}
\end{alltt}}
Remplacement des références à "Z1" \& "Z2" par "Z1_P" \& "Z2_P"
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{ICFG : Graphe d'appel décoré}
  {\footnotesize
\begin{verbatim}
  EXTRMAIN
    if
    then
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-MAY-{J1<=PHI1, PHI1<=JA, 1<=PHI2, PHI2<=3+K1,
C    PHI2<=21, J2==2JA-1, 2<=J1, 2<=K1}>
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-W-MAY-{PHI2==1, J1<=PHI1, PHI1+1<=2JA,
C    3+NC<=PHI3, PHI3<=5+NC, J2==2JA-1, 2<=J1, J1<=JA, 2<=K1}>
        EXTR
            do J       
        C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-EXACT-{PHI1==J, PHI1==JP, KP<=PHI2+1,
        C    PHI2<=KP, L<=PHI3, PHI3<=2+L, K==KP-1, 2<=J, 3<=KP}>        
                D        
        C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-EXACT-{PHI1==J, PHI1==JP, KP<=PHI2+1,
        C    PHI2<=KP, L<=PHI3, PHI3<=2+L, K==KP-1, 2<=J, 3<=KP}>        
                D        
        C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-EXACT-{PHI1==J, PHI1==JP, KP<=PHI2+1,
        C    PHI2<=KP, L<=PHI3, PHI3<=2+L, K==KP-1, 2<=J, 3<=KP}>        
                D
            enddo
    endif
\end{verbatim}
    }
\end{trans}


\begin{trans}{Distribution \& vectorisation}
  \begin{minipage}{0.4\hsize}
\begin{alltt}
do i = ...
  a(i) = ...
  b(3*i + 4) = ...
enddo
\end{alltt}
  \end{minipage}
  \vavers
  \begin{minipage}{0.4\hsize}
\begin{alltt}
  a(1:1000) = ...
  b(7:3004:3) = ...
\end{alltt}
  \end{minipage}
  \begin{itemizer}
  \item Effet de bord de la vectorisation
  \item Casser des grosses boucles en instructions élémentaires
  \item Retrouver formalisme mathématique à base de vecteurs \&
    matrices
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Parallélisation \& Détection des conflits}
  \begin{itemizer}
  \item Code parallélisé $\equiv$ manipulation point à point de champs
    de données
  \item Parallélisation $\equiv$ slicing par indépendance des
    itérations...
  \item Détection des conflicts entre itération : régions Read \&
    Write, AILE:EXTR

    \newslide

{\footnotesize
\begin{verbatim}
          DO 300 J = J1, JA
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-EXACT-{J==PHI1, PHI1<=52, K<=PHI2, PHI2<=1+K,
C    PHI2<=21, L<=PHI3, 1<=PHI3, PHI3<=2+L, PHI3<=60, J2==2JA-1,
C    K==K1, L==NI, J1<=J, J<=JA, 2<=J1, 2<=K}>
         S1 = D(J, K, J, K+1)
         ...
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-W-EXACT-{PHI1==J, PHI2==1, PHI3==NC+3,
C    J2==2JA-1, K==K1, L==NI, J1<=J, J<=JA, 2<=J1, 2<=K1}>
         T(J,1,NC+3) = S2*S3/((S1-S2)*(S1-S3))
         ...
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-R-EXACT-{PHI1==J, PHI2==1, PHI3==NC+3,
C    J+JH==J1+2JA-1, J2==2JA-1, K==K1, L==NI, J1<=J, J<=JA, 2<=J1,
C    2<=K1}>
C  <T(PHI1,PHI2,PHI3)-W-EXACT-{PHI1==JH, PHI2==1, PHI3==NC+3,
C    J+JH==J1+2JA-1, J2==2JA-1, K==K1, L==NI, J1<=J, J<=JA, 2<=J1,
C    2<=K1}>
         T(JH,1,NC+3) = T(J,1,NC+3)
300      CONTINUE
\end{verbatim}
  }

\newslide

\item Privatisation dans une itération (régions In/Out) +
  parallélisation à gros grain (régions Read/Write). OA118\\
  {\footnotesize
\begin{alltt}
{\orange{}CHPF$ INDEPENDENT, NEW(JI,JE,I,O(1:NFAC),PHW(1:NFAC))}
      DO 998 J = 1, NKJ
         CALL PHWAK(PHW, J)
         CALL GRAD1(PHW, O)
{\orange{}CHPF$    INDEPENDENT, NEW(JI,JE)}
         DO 116 I = 1, NKJ
            JE = JEX(I)
            JI = JIX(I)
            IF (1.LE.JE.AND.JE.LE.NFAC.AND.1.LE.JI.AND.JI.LE.NFAC)
     &       CC(J,I) = O(JE)-O(JI)
116         CONTINUE
998      CONTINUE
\end{alltt}
      }
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Vérification, preuve, génération de tests}
  Motivation économique
  \begin{itemizer}
  \item Coût des tests (Ariane~4 \vavers{} Ariane~5)
  \item Coût de développement
  \item Aérospatiale, Dassault-Aviation, EDF, ESA,...
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Calculs d'invariants}
  \begin{itemizer}
  \item Compréhension avec expressions symboliques
  \item Préconditions sur les variables scalaires entières
  \item Détection des variables inductives
  \item Complexité : $\mathcal{O}(N^2M)$ \vavers 2 boucles en $N$ \& 1
    en $M$ imbriquées, preuve de terminaison
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Invariants}
  \begin{itemizer}
  \item Compréhension
    \begin{itemizer}
    \item Extraction d'invariants
    \item Bornes sur variables
    \item Preuves de propriétés
    \end{itemizer}
  \item Optimisation \& spécialisation : élimination de code mort,
    évaluation partielle,...
  \end{itemizer}
  Exemple de système de transition : 1 producteur ("b") \& 2
  consommateurs ("o1" \& "o2")
\end{trans}


\begin{trans}{Espace d'états pour producteur consommateur}
  Invariant
  \[
  A = O_1 + O_2 + B + I 
  \]
  \psfiglarge{dessins/pcpugh.idraw}

  Bonne terminaison quand tout a été produit et que le buffer est
  vide
  \[
  A = O_1 + O_2
  \]
\end{trans}


\begin{trans}{Producteur consommateur --- PCPUGH}
  \deuxcolonnes{\footnotesize\verbatiminput{codes/pcpugh.f}}
\end{trans}


\begin{trans}{Terminaison producteur/consommateur}
  \begin{multicols}{2}
  {\footnotesize
    \begin{alltt}
      PROGRAM PCPUGH
      ...
      DO K = 1, N
{\orange{C  P(A,B,I,K,O1,O2) \{B+I+O1+O2==A, 1<=A,
C    B+2O1+2O2+1<=K, 0<=B+O1+O2,
C    1<=K, K<=N, 0<=O1, 0<=O2\}}}
      ...
      IF (I.EQ.0.AND.B.EQ.0) THEN
{\orange{C  P(A,B,I,K,O1,O2) \{O1+O2==A, B==0, I==0,
C    1<=A, A+O1+O2<=K, K<=N, 
C    O1+O2+1<=K, 0<=O1, 0<=O2\}}}
          PRINT *, 'The End', O1, O2, A
      ENDIF
      ENDDO
    \end{alltt}
    } Les invariants peuvent être réinterprétés:
  \begin{itemize}    
  \item $0 \le B + O_1 + O_2 \Longleftrightarrow I \le A$
  \item $0 \le O_1, 0 \le O_2 \Longleftrightarrow B + I \le A$
  \item $B + 2 \times O_1 + 2 \times O_2 + 1 \le K$ : nombre de
    transitions effectuées $<$ nombre de transitions essayées
  \end{itemize}     
  \end{multicols}
\end{trans}



\slidepart{Simplification de code}


\begin{trans}{Simplification de code}
  \begin{itemizer}
  \item Élimination des « scories » de mise au point dans les vieux
    codes
  \item Renormalisation (graphe de contrôle, détection de boucles)
  \item Adaptation du logiciel à son utilisation réelle
  \item Facilite la rétro-ingéniérie
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Restructuration du graphe de contrôle}
  \deuxcolonnes{\psfighautcentre{dessins/ocean-graph.ps}
    \psfighautcentre{dessins/ocean-graph-restructure.ps}}

  OCEAN (PerfectClub) : 16 tests non structurés \vavers 15 tests
  restructurés

  \begin{itemizet}
  \item 3 "IF"/"THEN"/"ELSE"
  \item 0 "IF"/"THEN" (branche "ELSE" vide)
  \item 11 "IF"/"ELSE" (branche "THEN" vide)
  \item 1 "IF" vide !
\begin{verbatim}
2     IF (LMAPP.NE.2) THEN
         GOTO 3
      ENDIF
3     CONTINUE
\end{verbatim}
  \end{itemizet}
  
  \newslide

  \begin{itemizer}
  \item Transformer plat de spaghetti en "IF"/"THEN"/"ELSE" sans
    "GOTO", "WHILE",...
  \item Techniques des années 1960
  \item Bénéficier de la programmation structurée
    \begin{itemizer}
    \item Lisibilité
    \item Maintenance
    \end{itemizer}
  \item Disponibles dans d'autres outils (Foresys, etc)
  \item Amélioration de la précision d'analyses ultérieures
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Élimination de code mort via préconditions}
  Exemple d'OCEAN (PerfectClub) : 57 tests\\
  \psfiglarge{dessins/epips_ocean_prec.eps}
  \begin{itemizer}
  \item Élimination des instructions infaisables : 1
  \item Élimination de tests toujours vrais ou faux : 25 (17 "THEN" \&
    8 "ELSE")
  \item Élimination de boucles jamais exécutées : 0
  \item Garder un corps de boucle exécuté 1 seule fois : 0
  \end{itemizer}
  $\Rightarrow$ Nombre de chemins de contrôle réduit par facteur
  25--16~000~000\\
  \vavers{} amélioration d'analyses ultérieures
\end{trans}


\begin{trans}{Élimination par chaînes use/def}
  \begin{itemizer}
  \item \emph{Slicing} sur les E/S. OCEAN : 13 lignes supprimées    
  \item Utilisation des chaînes In/Out possible (exemple sur code RPC)
  \item \emph{Slicing} par effet de bord : enlever toutes les E/S et
    mettre un "print" d'une variable...
  \end{itemizer}
\end{trans}


\slidepart{Spécialisation de code}

\begin{trans}{Spécialisation de code}
  \begin{itemizer}
  \item Optimisation de code pour une architecture donnée
  \item Optimisation pour une utilisation donnée (bibliothèques)
  \item Déroulage des petites boucles internes
  \item Post-phase de clonage : séparation d'une routine à fonctionalités
    multiples (DYNA:MAKEPRF initialisation \& calcul)
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{DYNA:MAKEPRF}
  {\footnotesize
\begin{alltt}
C     IF MODE=0 IN THE MIDDLE OF TIME STEP
C     KEYTAU=1
C     KEYLUM=1
C     KSTATE=-1
C     KVISCOS=0
C     IF MODE=1  IN THE END OF TIME STEP
C     KEYTAU=1
C     KEYLUM=1
C     KSTATE=1
C     KVISCOS=1
C     -------------------------------------------------
\newslide
C     IF KEYTAU=0 DONT CALCULATE TAUA(J)
C     IF KEYLUM=0 DONT CALCULATE FRA(J) AND FCA(J)
C     IF KEYLUM=1 CALCULATE EXACT FRA AND FCA
C     IF KEYLUM=-1  CAL. FLUX ONLY FROM  DER.
C     IF KSTATE=-1 CALCULATE VARIABLES FROM DERIVATIVES
C     IF KSTATE=1 CALCULATE EXACT  VARIABLES FROM STATE
C     IF KVISCOS=0 DO NOT CALCULATE VISCOSITY
C     IF KVISCOS=1 CALCULATE VISCOSITY
C     -------------------------------------------------
C     IF KCONVEC=0  INSTATENIOUS  CONVECTION
C     IF KCONVEC=1  TIME DEPENDENT CONVECTION
C     -------------------------------------------------
\end{alltt}
    }
\end{trans}


\begin{trans}{Bibliothèque SDOT}
\begin{alltt}
{\orange{}C  P() {INCX==1, INCY==1, N==49}}
      REAL*4 FUNCTION SDOT(N,X,INCX,Y,INCY)
      INTEGER N,INCX,INCY,IX,IY,I
      REAL*4 X(1:1),Y(1:1),SDOT
      
{\yellow{}      SDOT = 0.0                  0001}
      IX = 1                      0002
      IY = 1                      0003
      DO 10 I = 1, N              0004
{\yellow{}         SDOT = SDOT+X(IX)*Y(IY)  0005}
         IX = IX+INCX             006
         IY = IY+INCY             0007
10       CONTINUE                 0008
      END
\end{alltt}
\end{trans}


\begin{trans}{SDOT optimisée}
  Après évaluation partielle, déroulage, évaluation partielle \&
  élimination use-def
  {\footnotesize
\begin{verbatim}
      SDOT = 0.0             
      SDOT = SDOT+X(1)*Y(1)  
      SDOT = SDOT+X(2)*Y(2)  
      SDOT = SDOT+X(3)*Y(3)  
      SDOT = SDOT+X(4)*Y(4)  
      SDOT = SDOT+X(5)*Y(5)  
      SDOT = SDOT+X(6)*Y(6)  
      SDOT = SDOT+X(7)*Y(7)  
...                          
      SDOT = SDOT+X(48)*Y(48)
      SDOT = SDOT+X(49)*Y(49)
\end{verbatim}
  }
\end{trans}


\begin{trans}{CONVOL générique}
  {\footnotesize
\begin{alltt}
{\red{}C                                    46058140 (SUMMARY)}
      SUBROUTINE CONVOL(NEW_IMAGE,IMAGE,ISI,ISJ,KERNEL,
     &HKSI,HKSJ)
      INTEGER ISI,ISJ,HKSI,HKSJ,I,J,KI,KJ
      REAL*4 NEW_IMAGE(1:ISI,1:ISJ),IMAGE(1:ISI,1:ISJ),
     &KERNEL(-HKSI:HKSI,-HKSJ:HKSJ),S
      
      DO I = 1, ISI
         DO J = 1, ISJ
            NEW_IMAGE(I,J) = IMAGE(I,J)
         ENDDO
      ENDDO
\newslide
      DO 300 J = 1+HKSJ, ISJ-HKSJ
         DO 400 I = 1+HKSI, ISI-HKSI
            S = 0.
{\yellow            DO 200 KI = -HKSI, HKSI
               DO 100 KJ = -HKSJ, HKSJ
                  S = S+IMAGE(I+KI,J+KJ)*KERNEL(KI,KJ)
100               CONTINUE
200            CONTINUE}
            NEW_IMAGE(I,J) = S/((2*HKSI+1)*(2*HKSJ+1))
400         CONTINUE
300      CONTINUE
      END
\end{alltt}
    }
\end{trans}


\begin{trans}{Vérification accès tableaux CONVOL}
  {\small
\begin{alltt}
{\red{}C  <{\green{}IMAGE}(PHI1,PHI2)-{\green{}R-EXACT}-\{1<=PHI1, PHI1<=ISI, 1<=PHI2, PHI2<=ISJ,
C    1<=HKSI, 1<=HKSJ\}>
C  <{\green{}KERNEL}(PHI1,PHI2)-{\green{}R-EXACT}-\{0<=PHI1+HKSI, PHI1<=HKSI, 0<=PHI2+HKSJ,
C    PHI2<=HKSJ, 1<=HKSI, 1+2HKSI<=ISI, 1<=HKSJ, 1+2HKSJ<=ISJ,
C    1<=ISJ\}>
C  <{\green{}NEW_IMAGE}(PHI1,PHI2)-{\magenta{}W-EXACT}-\{1<=PHI1, PHI1<=ISI, 1<=PHI2,
C    PHI2<=ISJ, 1<=HKSI, 1<=HKSJ\}>}
\end{alltt}
}
\iffalse
\begin{verbatim}
C  <IMAGE(PHI1,PHI2)-R-EXACT-{1<=PHI1, PHI1<=512, 1<=PHI2,
C    PHI2<=512, HKSI==1, HKSJ==1, ISI==512, ISJ==512}>
C  <KERNEL(PHI1,PHI2)-R-EXACT-{0<=PHI1+1, PHI1<=1, 0<=PHI2+1,
C    PHI2<=1, HKSI==1, HKSJ==1, ISI==512, ISJ==512}>
C  <NEW_IMAGE(PHI1,PHI2)-W-EXACT-{1<=PHI1, PHI1<=512,
C    1<=PHI2, PHI2<=512, HKSI==1, HKSJ==1, ISI==512, ISJ==512}>
\end{verbatim}
\fi
\end{trans}


\begin{trans}{CONVOL après optimisation}
  Clonage + évaluation partielle + 2 déroulages de boucle +
  élimination use-def :{\footnotesize
\begin{alltt}
  C                                              32532940 (SUMMARY)
  ...
      DO 300 J = 2, 511                                        0004
         DO 400 I = 2, 511                                     0005
            S = 0.                                             0006
{\green{}            S = S+IMAGE(I-1,J-1)*KERNEL(-1,-1)                 0009
            S = S+IMAGE(I-1,J)*KERNEL(-1,0)                    0009
            S = S+IMAGE(I-1,J+1)*KERNEL(-1,1)                  0009
            S = S+IMAGE(I,J-1)*KERNEL(0,-1)                    0009
            S = S+IMAGE(I,J)*KERNEL(0,0)                       0009
            S = S+IMAGE(I,J+1)*KERNEL(0,1)                     0009
            S = S+IMAGE(I+1,J-1)*KERNEL(1,-1)                  0009
            S = S+IMAGE(I+1,J)*KERNEL(1,0)                     0009
            S = S+IMAGE(I+1,J+1)*KERNEL(1,1)                   0009}
            NEW_IMAGE(I,J) = S/9                               0012
400         CONTINUE
300      CONTINUE
\end{alltt}
    }
\end{trans}


\begin{trans}{Temps d'exécution}
  \begin{tabular}{|l|r||r|r||r|r|} \hline
    & Estimation SS2 &\multicolumn{2}{c||}{SuperSparc-II
      }&\multicolumn{2}{c|}{UltraSPARC} \\ \cline{3-6}
    & (cycles) & f77 -O3 & f77    & f77 -O3 & f77 \\ \hline
    Code initial      & 66358440 & 29.6s   & 195.2s & 9.59s    & 105.3s \\
    Code spécialisé & 28612020 & 13.1s   &  69.2s & 5.58s    &  34.0s\\ \hline
    Rapports          &     2.32 & 2.26    &  2.82  & 1.71    & 3.09 \\ \hline
  \end{tabular}
\end{trans}


\slidepart{Vérification de programme}


\begin{trans}{Une étude EDF}
  Vérification d'un programme en cours de parallélisation
  \begin{itemizer}
  \item Seulement 600 procédures parmi les 2000 d'une application
  \item Graphe des appels long de 82 pages: impossible à traiter manuellement
  \item 40\,617 lignes de code
  \item La boucle \emph{machin} dans la procédure \emph{truc} est-elle
    vraiment parallèle ?
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Graphe de flot de données quotient}
  \psfighautcentre{dessins/edf-common.idraw}
\end{trans}


\begin{trans}{Résultats de cette étude EDF}
  \begin{itemizer}
  \item une variable non initialisée
  \item nettoyage des déclarations
    \begin{itemizet}
    \item réduction du nombre de commons: 36~\%
    \item réduction du nombre d'équivalence: 98~\%
    \item réduction du nombre de paramètres: 95~\%
    \end{itemizet}
  \item vérification de la validité de la parallélisation
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Array data flow graph}
  \begin{itemizer}
  \item Méthode polyédrique (PAF, UVSQ/PRISM)
  \item Pouvoir tracer les éléments de tableau
  \item Passage en assignation unique dynamique
  \item Détection des erreurs d'accès
  \item Restreint aux cas simples (contrôle statique, intraprocédural)
  \end{itemizer}
\end{trans}


\begin{trans}{Multiplication de matrice}
  {\small
\begin{alltt}
      PARAMETER (N = 10)
     
      DO J = 1, N
         DO I = 1, N                          0002
            A(I,J) = REAL(I-N/2)/REAL(J)      0004
            B(I,J) = REAL(J-3)/REAL(I)        0005
         ENDDO                                
      ENDDO                                   
      DO J = 1, N                             0006
         DO I = 1, N                          0008
            {\red{}C(I,J) = 0.}                       0010
            DO K = 1, N                       0011
               {\orange{}C(I,J) = C(I,J)}+A(I,K)*B(K,J)  0013
            ENDDO
         ENDDO
      ENDDO
\end{alltt}
}
\end{trans}


\begin{trans}{ADFG de la multiplication de matrice}
  {\footnotesize
    \begin{multicols}{2}
\begin{verbatim}
INS_100:
********
 Execution Domain for 100:
{
  I - 10 <= 0 ,
- I + 1 <= 0 ,
  J - 10 <= 0 ,
- J + 1 <= 0 ,
} 
 ---Def-Use---> ins_130:
  Reference: C(I,J)
  Transformation: [J,I]
  Governing predicate:
{
  K - 1 <= 0 ,
} 
  Execution Domain for 130:
{
  K - 10 <= 0 ,
- K + 1 <= 0 ,
  I - 10 <= 0 ,
- I + 1 <= 0 ,
  J - 10 <= 0 ,
- J + 1 <= 0 ,
}
\end{verbatim}
    \end{multicols}
}
\end{trans}


\begin{trans}{(Non) initialisation de tableaux}
  \begin{itemizer}
  \item Régions IN : variable locale avec région IN \vavers erreur
  \item ADFG : source indéfinie \vavers erreur
  \end{itemizer}
\end{trans}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "trans"
%%% End: 
